Matematika SMA: Persamaan Kuadrat

Konten [Tutup]

A. Bentuk Umum dan Diskriminan

Bentuk umum PK adalah: 

\(ax^2 + bx + c = 0, a \ne 0\)

Akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat dilihat dari nilai Diskriminan (D)

\(D = b^2 - 4 ac\)

• D > 0, berarti PK mempunyai dua akar nyata (real)
• D = 0, berarti PK mempunyai akar kembar
• D > 0, berarti PK mempunyai akar-akar nyata dan berlainan.

B. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Penyelesaian persamaan kuadrat dapat dicari dengan dua cara, yaitu:

• Jika D > 0 dengan pemfaktoran \[a(x-x_1)(x-x_2) = 0\]
• Dengan rumus \[x_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\]

C. Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Akar

Jika \(x_1\) dan \(x_2\) akar-akar persamaan kuadrat maka:

RUMUS PRAKTIS

Jika akar-akar PK adalah \(x_1\) dan \(x_2\) dengan \(x_1 = x_2 + n\) maka: \[D = (n.a)^2\]

Jika \(x_1\) dan \(x_2\) akar-akar sebuah persamaan kuadrat, dan berlaku \(x_1 = nx_2\)  maka: \[nb^2 = (n+1)^2 a.c\]

D. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

Perhatikan hubungan antara jenis akar-akar \(x_1\) dan  \(x_2\) pada persamaan kuadrat \(ax^2 + bx + c = 0\).

E. Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dengan akar-akar \(x_1\) dan \(x_2\) adalah:

\((x-x_1)(x-x_2) = 0\) atau \(x^2-(x_1 + x_2)x+x_1x_2 = 0\)

Diketahui \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar-akar dari \(ax^2+bx+c\) maka dapat disusun persamaan kuadrat yang baru sebagai berikut:

1. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \(nx_1\) dan \(nx_2\) maka invers akarnya adalah \(x_1 \over n\) dan \(x_2 \over n\). Persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah: \[a({x \over n})^2 + b({x \over n}) +c = 0\]
2. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \(1 \over x_1\) dan \(1 \over x_2\) (berkebalikan) maka akarnya persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah: \[cx^2+bx+a=0\]
3. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \(-x_1\) dan \(-x_2\) maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah: \[ax^2-bx+c=0\]
4. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \(x_1 + n\) dan \(x_2 + n\) maka invers akarnya \(x_1 - n\) dan \(x_2 -  n\). Persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah: \[a(x-n)^2+b(x-n)+c=0\]
5. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah \(x_1-n\) dan \(x_2-n\) maka invers \(x_1+n\) dan \(x_2+n\). Persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah: \[a(x-n)^2+b(x-n)+c=0\]
6. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah `x_1^2` dan `x_2^2` maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
   
   `a^2x^2 - (b^2-2ac)x+c^2=0`
7. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah `{x_1}/{x_2}` dan `{x_2}/{x_1}` maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
   

   `acx^2-(b^2-2ac)x+ac=0`
8. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah `x_1+x_2` dan `x_1.x_2` maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
   

   `a^2x^2+(ab-ac)x-bc=0`
9. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah `x_1^3` dan `x_2^3` maka persamaan kuadrat baru diperoleh:
   

   `a^3x^3-(3abc-b^3)x+c^3=0`

Bagikan Artikel ini